求等比数列的通项公式

【求等比数列的通项公式】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值为常数。这个常数称为“公比”。了解等比数列的通项公式对于解决相关问题具有重要意义。

一、等比数列的基本概念

等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项起，每一项都是前一项乘以一个固定常数（即公比）所得到的数列。例如：

2, 6, 18, 54, 162,...

其中，公比为3。

二、通项公式的推导过程

设等比数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，公比为 $ r $，则有：

$$

a_2 = a_1 \cdot r \\

a_3 = a_2 \cdot r = a_1 \cdot r^2 \\

a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \\

\ldots \\

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

$$

因此，等比数列的第 $ n $ 项可以表示为：

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

$$

三、通项公式总结

四、应用示例

假设有一个等比数列，首项为3，公比为2，求第5项：

$$

a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48

$$

五、注意事项

1. 若公比 $ r = 1 $，则数列为常数列，每一项都等于首项。

2. 若公比 $ r < 0 $，则数列项会交替正负。

3. 当 $ r < 1 $ 时，数列趋于收敛；当 $ r > 1 $ 时，数列趋于发散。